芯耀
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傅里葉變換是一種在各個領(lǐng)域都經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)工具。這個網(wǎng)站將為你介紹傅里葉變換能干什么，為什么傅里葉變換非常有用，以及你如何利用傅里葉變換干漂亮的事。就像下面這樣：
漫畫與諧波分解
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我將為你解釋這個動畫是如何工作的，沿途為你詳細(xì)地解釋傅里葉變換！
這次旅途結(jié)束后，你將會掌握下面這些知識：
- 什么是傅里葉變換傅里葉變換的一些實(shí)際用途傅立葉變換的一些很酷的用法（雖然有些沒有實(shí)際意義）
我們現(xiàn)在暫時不提那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式。傅里葉背后的數(shù)學(xué)原理十分有趣，但最好還是先從它的實(shí)際應(yīng)用開始，以及為什么要使用它。如果你想了解更多，下面提供了一些進(jìn)一步的閱讀建議！
傅里葉變換是什么
簡而言之，傅里葉變換把一個輸入信號分解成一堆正弦波的疊加。就像大多數(shù)數(shù)學(xué)方法一樣，這個名字來自一個名叫傅立葉的人。
讓我們從一些簡單的例子開始，然后繼續(xù)前進(jìn)。首先，我們來看看什么是波 —— 波隨著時間的推移，一直按照某一規(guī)律變化。
這是一個波的例子：
周期波形示例
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這個波可以分解為兩個正弦波的疊加。也就是說，當(dāng)我們將兩個正弦波相加時，就會得到原來的波。
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簡單周期波形拆分成兩個正弦波的疊加
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傅里葉變換可以讓我們從一個復(fù)雜的波形里面，把構(gòu)成這個波的單個正弦波分離出來。在這個例子中，你幾乎可以通過“腦補(bǔ)”完成這一操作。
為什么？事實(shí)證明，現(xiàn)實(shí)世界中的許多事物間的互相交互，都是基于正弦波。我們通常將這種波的快慢的性質(zhì)，稱為波的頻率。
最明顯的例子就是聲音 —— 當(dāng)我們聽到聲音時，我們聽不到那條波浪線，但我們聽到構(gòu)成聲音的正弦波的不同頻率。
能夠在計(jì)算機(jī)上區(qū)分這兩個音調(diào)，我們就可以了解一個人實(shí)際可以聽到的內(nèi)容。我們可以理解聲音的高低，或弄清楚這個波包含了什么音符。
一些波看起來不像由正弦波構(gòu)成，我們也可以用這個分解的過程來進(jìn)行分析。
我們來看看這個家伙吧。這個波稱為方波。
方波周期波形
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雖然看起來不太可能，但它確實(shí)也可以分解成正弦波。
方波內(nèi)的正弦波分解
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這次我們需要很多 —— 理論上是無限多的正弦波來完美地表達(dá)一個方波。隨著我們加入越來越多的正弦波，疊加出的波形就越來越接近方波。
有限個諧波合成方波
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在視覺上，你會注意到前幾個正弦波的疊加可以在結(jié)果中產(chǎn)生最大差異?；瑝K滑到一半時，就有一些方波的樣子了，但它看起來搖擺不定。加上更多小的正弦波，組合出的波形看起來就平坦了。
當(dāng)播放這個波形時，你會發(fā)現(xiàn)使用的正弦波少時，聲音聽起來更低沉一些。這是因?yàn)槲覀儼迅哳l率的成分去掉了。
這一過程可以用來處理任何有周期的波。試一試，畫一個你喜歡的波形吧。
手工繪制任意波形進(jìn)行傅里葉級數(shù)分解
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和上一個方波類似，除了有些額外的擺動之外，滑塊移動到中間位置，生成的波形就很接近你畫的了。
我們可以利用這個事實(shí)：使用傅里葉變換，我們可以把音頻中最重要的成分表達(dá)出來，并且得到和原始聲音非常接近的波形。
在計(jì)算機(jī)中，波形以一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)的形式來存儲。
波形存儲的數(shù)據(jù)點(diǎn)形式
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我們可以做的是，將聲音表示為一堆正弦波。然后可以通過忽略掉較小幅度的高頻成分來壓縮聲音。盡管得出的波形與原始波形不一樣，但是聽起來將會和原始聲音很接近。
聲波中不同頻率分量
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這基本上就是 MP3 做的事情。MP3 除此之外還可以更聰明地知道需要保留哪些頻率以及扔掉哪些頻率。
所以在這種情況下，我們可以使用傅里葉變換來理解波的基本屬性，然后我們可以將它用于數(shù)據(jù)的壓縮之類的事情。
好的，現(xiàn)在讓我們深入了解傅立葉變換。下一部分看起來很酷，也讓你更加了解傅立葉變換的作用。但大多只是“看起來”很酷。
周轉(zhuǎn)圓
在開始時，我介紹了傅里葉變換可以將事物分成正弦波。但更酷的是，它產(chǎn)生的正弦波不僅僅是一般的正弦波，它們都是“三維”的正弦波。你可以稱之為“復(fù)雜的”正弦曲線，或者，“螺旋”。
正弦螺旋線
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如果我們從側(cè)面看，它們看起來像正弦波。但是，從正面看，它們看起來像圓圈。
不同角度觀看螺旋線
到目前為止，我們所做的一切只需要常規(guī)的 2D 正弦波。當(dāng)我們對 2D 波進(jìn)行傅里葉變換時，“復(fù)雜的”部分被忽略了，所以我們最終也只能得到正弦波。
但是我們可以使用 3D 正弦波來制作看起來很有趣的東西，就像這個：
3D 正弦波繪制 Yeah
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這里發(fā)生了什么事情呢？
我們可以將一個手繪圖理解為一個 3D 的形狀，因?yàn)辄c(diǎn)的位置在隨時間移動。如果你想象一個人正在繪制一只手，那么這三個維度就代表了某一時刻鉛筆尖的位置。除了 x 和 y 維度告訴我們筆尖的位置，還有一個時間維度。
多了時間維度的 3D 形狀
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現(xiàn)在我們有一個 3D 的形狀，我們不能使用常規(guī) 2D 正弦波把它表示出來。無論我們添加多少 2D 正弦波，我們都永遠(yuǎn)不會得到 3D。所以我們需要些別的東西。
我們可以使用的是之前的 3D 螺旋正弦波。如果我們添加很多這些螺旋，得到的東西就看起來像我們的 3D 形狀。
請記住，當(dāng)我們從前面看它們時，這些波浪看起來像圓圈。圍繞另一個圓圈移動的圓圈圖案，被稱為“周轉(zhuǎn)圓”。
不同諧波疊加后的 3D 圖形
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像以前一樣，我們只用幾個圓圈就可以很好地近似表達(dá)出原始圖案。因?yàn)檫@是一個相當(dāng)簡單的形狀，所有后面添加的小圓都是使邊緣更加銳利。
這些適用于任何一個圖案。真的，現(xiàn)在你創(chuàng)作的機(jī)會來了。
任意形狀的諧波分解
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同樣，你會發(fā)現(xiàn)，對于大多數(shù)形狀，我們可以用很少的圓圈很好地近似表達(dá)它們，要保存一個形狀，我們不必保存形狀上所有的點(diǎn)。
這個方法可以應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)嗎？答案是可以！實(shí)際上，我們有另一種稱為 SVG 的數(shù)據(jù)格式，比我們在這里繪制圖案更好用一些。所以目前，我們只是制作了些炫酷的小 GIF。
FOURIERTRANSFORMS
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然而，還有另一種類型的視覺數(shù)據(jù)使用傅里葉變換。
JPEGs
你知道傅立葉變換除了可以表達(dá)簡單的手繪線條，還可以用于圖像嗎？事實(shí)上，我們一直都在使用它，因?yàn)檫@就是 JPEG 的工作原理！我們將相同的原理應(yīng)用于圖像 —— 將某些東西分成一堆正弦波，然后只存儲重要的東西。
要處理圖像，我們需要一種不同類型的正弦波。我們需要這樣的一種“正弦波”：無論我們有什么樣的圖像，我們都可以添加一堆這些正弦波來回到原始圖像。
要做到這一點(diǎn)，我們使用的每個正弦波也將是一個個小圖像。我們現(xiàn)在使用一些黑白條紋的小圖像，這些更可以表達(dá)為“線”，而不是波。為了表示“波”的大小，每個圖像將具有或多或少的明暗對比。
我們也可以以類似的方式表示出顏色，但我們先從灰度圖像開始玩。為了表示灰度圖像，我們需要一些水平的波圖案，還有一些垂直的波圖案。
水平和垂直波形圖
水平和垂直圖像相乘
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要得到一個 8x8 分辨率的圖像，這里是我們需要的所有小圖案。
8×8 圖像模塊
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如果我們把這些小圖案的對比度調(diào)整到適當(dāng)?shù)闹?，然后將它們相加，我們就可以得出任意圖像。
讓我們從一個字母"A"開始。它非常小，但我們需要它很小，否則我們最終會得到太多其他的圖像。
字母 A
隨著我們添加越來越多的這些圖案，我們最終得到的東西越來越接近實(shí)際圖像。我覺得你只要添加很少一部分圖案，就能看出字母“A”的樣子來。
字母 A 不同頻率展開
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對于實(shí)際的 JPEG 圖像來說，這就是基本原理，剩下的只有一些額外的細(xì)節(jié)。
圖像被分解為 8x8 塊，每個塊分別進(jìn)行分解。我們使用一組頻率來確定每個像素的亮度或暗度，然后是另外兩組用于顏色，一組用于紅綠色，另一組用于藍(lán)黃色。我們?yōu)槊總€塊使用的頻率個數(shù)決定了 JPEG 圖像的品質(zhì)。
這是一個實(shí)際的 JPEG 圖像，放大后我們可以看到細(xì)節(jié)。當(dāng)我們改變 JPEG 品質(zhì)水平時，可以觀察出畫質(zhì)的區(qū)別。
實(shí)際 JPEG 圖片
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總結(jié)
讓我們回顧一下：
- 傅里葉變換讓我們輸入一個事物，并將其分解為不同頻率的成分頻率告訴我們有關(guān)數(shù)據(jù)的一些基本屬性并且可以通過僅存儲重要的成分來壓縮數(shù)據(jù)我們還可以用傅里葉變換的原理，通過一堆圓圈制作看起來很酷的動畫
這只是表面上的一些淺層次應(yīng)用。傅里葉變換是一個非常強(qiáng)大的工具，因?yàn)閷⑹挛锓纸獬刹煌l率是十分重要的分析方法。它們被用于許多領(lǐng)域，包括電路設(shè)計(jì)，移動網(wǎng)絡(luò)信號，磁共振成像（MRI）和量子物理！
一些問題
我在這里跳過了大部分的數(shù)學(xué)原理。如果你對它的數(shù)學(xué)原理很感興趣，可以用以下這些問題來幫助你研究：
- 你如何在數(shù)學(xué)上表示傅里葉變換？連續(xù)時間傅立葉變換和離散時間傅立葉變換之間有什么區(qū)別？你如何計(jì)算傅里葉變換？你如何對整首歌曲進(jìn)行傅里葉變換？（不僅僅是單個音符）
拓展閱讀
要了解更多信息，你可以看看這些非常好的資源（作者推薦的這些資源是英文版的）。
An Interactive Guide To The Fourier Transform 從數(shù)學(xué)角度更加深刻地介紹傅里葉變換。
But what is the Fourier Transform? ?A visual introduction. 3Blue1Brown 制作的 YouTube 視頻，從音頻的角度解釋傅里葉變換的數(shù)學(xué)原理。
A Tale of Math & Art: Creating the Fourier Series Harmonic Circles Visualization 另一篇不錯的文章，從線性代數(shù)的角度解釋如何用周轉(zhuǎn)圓來畫出形狀。
Fourier transform (Wikipedia) 當(dāng)然，維基百科的解釋也很不錯。
傅里葉變換（維基百科） 譯者為你添加了中文維基的鏈接。
