麥克斯韋方程直觀

前一段時(shí)間刷到一個(gè)美女主播在推薦一本關(guān)于麥克斯韋方程組的書——《麥克斯韋方程直觀》，價(jià)格比較便宜，于是就買回來讀了一下。（今天怎么更便宜了！）

說實(shí)話，這本書對(duì)于射頻設(shè)計(jì)來說，參考性不大。但是對(duì)于射頻工程師來說，理解掌握麥克斯韋方程組卻是很有必要的，畢竟是祖師爺發(fā)明的東西，偶爾拿出來裝一下也是可以的。

下圖是我們這次定制的麥克斯韋杯的圖案，帶個(gè)二維碼純粹是為了宣傳公眾號(hào)啦。

今天談一下，我對(duì)麥克斯韋方程組的一點(diǎn)小認(rèn)識(shí)。

我們知道，牛頓統(tǒng)一了力，愛因斯坦統(tǒng)一了時(shí)空，而我們的祖師爺麥克斯韋則統(tǒng)一了電和磁以及光。可以說，沒有麥克斯韋就沒有我們今天萬物互聯(lián)的世界。

而麥克斯韋統(tǒng)一了電和磁就藏在上面的四個(gè)方程內(nèi)。

我們先看它的積分方程。

首先我們來說一下什么是積分？

我感覺整個(gè)數(shù)學(xué)來說也就在干倆事兒，第一個(gè)是加法，第二個(gè)是減法。為了應(yīng)對(duì)一些等加或者等分的情況就發(fā)明了乘除，為了應(yīng)付一些沿著線或者沿著面相加的情況就發(fā)明了微積分。其實(shí)無論是乘除還是微積分，本質(zhì)上還是加法和減法的延續(xù)。

下面就是麥克斯韋方程組的積分形式，而長長的∫ 就是積分符號(hào)，在∫符號(hào)中間加一個(gè)?，表示是封閉曲線或者封閉曲面積分。

為了簡單期間，先看最后一個(gè)公式，這個(gè)是高斯電場定律。等式左邊表示對(duì)封閉曲面上的電通量進(jìn)行積分，相當(dāng)于將曲面各部分電通量求和，而右邊則表示對(duì)這個(gè)體積內(nèi)的所有電荷密度進(jìn)行積分，也就是體積內(nèi)所有電荷求和。兩邊相等，則表示通過封閉曲面的電通量總和等于這個(gè)封閉曲面包圍的體積內(nèi)的所有電荷和。

倒數(shù)第三個(gè)公式也很簡單，表示的是高斯磁場定律，告訴我們穿過任意閉合曲面的磁通量為0。?其實(shí)也宣示了單極磁荷是不存在的。

倒數(shù)第二個(gè)公式則是法拉第定律。注意等式右側(cè)只有磁通量對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，表示磁通量是隨時(shí)間變化的，而等式左側(cè)則是對(duì)封閉路徑上電場的線積分。也就是說變化的磁場會(huì)感應(yīng)出環(huán)繞的電場。如下圖所示

麥克斯韋方程組總共四個(gè)方程，高斯貢獻(xiàn)了兩個(gè)，法拉第貢獻(xiàn)了一個(gè)，而麥克斯韋最多最多只剩一個(gè)可以貢獻(xiàn)一下了。錯(cuò)了，麥克斯韋只貢獻(xiàn)了半個(gè)。

我們看第一個(gè)等式，這個(gè)等式有點(diǎn)長。等式前面只有一項(xiàng)，表示封閉路徑L中磁場強(qiáng)度的積分；右邊則有兩項(xiàng)，第一個(gè)是對(duì)一個(gè)面上電流密度的積分，第二個(gè)則是先對(duì)電位移矢量D時(shí)間t求導(dǎo)，然后再面積分。

如果沒有第二項(xiàng)的話，那這個(gè)公式就是安培定律，表示電流的周圍存在磁場，安培右手定則則能很快找到磁場的方向。如下圖所示。

這個(gè)等式右邊第二項(xiàng)則是麥克斯韋想象出來的了，在安培定律后面加了一個(gè)變化的電通量，取名叫做位移電流。傳言說是為了保持和第二個(gè)等式的對(duì)稱，也引入了一個(gè)變化的量。也就是說既然法拉第證明了變化的磁場可以產(chǎn)生電場，那么變化的電場理應(yīng)也能產(chǎn)生磁場。

但是是不是叫麥克斯韋方程，只是因?yàn)辂溈怂鬼f貢獻(xiàn)了半個(gè)方程組呢。其實(shí)也不是，最早麥克斯韋總結(jié)前人研究成果的時(shí)候，總結(jié)了20個(gè)方程，發(fā)表在了他的偉大著作《A treatise on electricity and magnetism》中，這套書目前珍藏在劍橋圖書館里。

這20個(gè)方程直到麥克斯韋去世20年之后，才有英國的 Oliver Heaviside 和 Heinrich Hertz 簡化為4個(gè)。也就是我們學(xué)習(xí)的這四個(gè)。所以當(dāng)時(shí)很多人建議這組方程命名為?和維賽德（Heaviside）方程，被Heaviside拒絕了。因?yàn)檫@個(gè)方程組最最最最大的貢獻(xiàn)就是麥克斯韋，一個(gè)真正意義上的天才物理學(xué)家。而這個(gè)天才就體現(xiàn)在他對(duì)位移電流的處理上。

下面是推導(dǎo)過程，這次是微分方程推導(dǎo)的。這個(gè)波動(dòng)方程不僅統(tǒng)一了電和磁，而且也統(tǒng)一了光，因?yàn)?a class="article-link" target="_blank" href="/baike/481275.html">電磁波的速度就是光速。

所以費(fèi)曼曾說：只要有了電和磁，就會(huì)有光。那么也正是有了麥克斯韋，才有我們現(xiàn)在萬物互聯(lián)的世界。