芯耀
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在本篇文章中，我們首先將探討什么是調(diào)制以及一些常見的調(diào)制類型。接著，我們將深入研究相位調(diào)制和幅度調(diào)制及其背后的數(shù)學(xué)原理，以此為基礎(chǔ)引入實(shí)數(shù)調(diào)制和復(fù)數(shù)調(diào)制的概念。最后，我們將討論復(fù)數(shù)調(diào)制的應(yīng)用，并以一個(gè)實(shí)例結(jié)束，將各個(gè)概念串聯(lián)起來(lái)。
首先，我們來(lái)討論基本的調(diào)制概念。調(diào)制是指以一種受控的方式改變載波信號(hào)的屬性（如幅度、相位或頻率），以便通過(guò)信道傳輸數(shù)據(jù)或獲得所需的信號(hào)屬性。這里以一個(gè)數(shù)字通信系統(tǒng)為例來(lái)展示這個(gè)過(guò)程。
我們有一串比特序列來(lái)控制調(diào)制器。調(diào)制器對(duì)每個(gè)比特或比特序列做出響應(yīng)，以特定的方式調(diào)制信號(hào)，以表示這些比特。信號(hào)通過(guò)信道傳輸，這個(gè)信道可以是同軸電纜、無(wú)線信道或光纖。傳輸后，對(duì)調(diào)制信號(hào)進(jìn)行解調(diào)，以確定傳輸?shù)谋忍亍?/p>
調(diào)制技術(shù)種類繁多，每種調(diào)制技術(shù)都在頻譜效率、復(fù)雜度、功率效率、抗噪聲能力等方面實(shí)現(xiàn)了不同的權(quán)衡。這里列出了一些最常用的調(diào)制類型。脈沖幅度調(diào)制（PAM）僅調(diào)制載波幅度。
PAM也可以包含負(fù)幅度，這可以看作是180度的相位偏移。例如，2級(jí)PAM通常被稱為二進(jìn)制相移鍵控（BPSK），常用于串行接口，如千兆以太網(wǎng)。當(dāng)然，最著名的模擬幅度調(diào)制是AM無(wú)線電傳輸中使用的那種。
相移鍵控（PSK）僅調(diào)制載波相位，從而得到一個(gè)恒定的載波包絡(luò)，實(shí)現(xiàn)良好的功率效率。PSK具有良好的抗噪聲能力，當(dāng)信道信噪比低時(shí)，為了在LTE網(wǎng)絡(luò)中實(shí)現(xiàn)足夠的誤碼率，就會(huì)使用PSK。正交幅度調(diào)制（QAM）同時(shí)調(diào)制載波相位和幅度，允許使用大量符號(hào)，從而以犧牲功率效率和增加噪聲要求為代價(jià)大大提高頻譜效率。它是當(dāng)今最常用的調(diào)制類型之一。256符號(hào)QAM用于DOCSIS 3.0電纜系統(tǒng)，以在低噪聲信道上實(shí)現(xiàn)高數(shù)據(jù)速率。
頻率調(diào)制（FM）調(diào)制載波頻率。在數(shù)字通信中，選擇離散頻率作為符號(hào)，每個(gè)符號(hào)代表一串比特。其他例子當(dāng)然包括FM無(wú)線電和線性頻率調(diào)制（LFM）。
LFM是載波頻率的連續(xù)線性掃描。LFM通常不用于數(shù)據(jù)傳輸。然而，它被用于雷達(dá)系統(tǒng)以實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮，從而提高空間分辨率，以便識(shí)別近距離目標(biāo)。
現(xiàn)在，讓我們來(lái)了解一下基本相位和幅度調(diào)制的數(shù)學(xué)原理。這是一個(gè)很好的例子，因?yàn)樗谡环日{(diào)制（QAM）等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。同樣的基本分析可以用于上圖中給出的所有調(diào)制類型。這還可以讓我們展示實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)調(diào)制。
首先，一個(gè)相位和幅度調(diào)制的載波可以表示如下，其中余弦項(xiàng)作為載波，其幅度由a(t)調(diào)制，相位由θ(t)調(diào)制。載波頻率由f_c表示。利用和角三角恒等式，我們可以將x(t)分解為單獨(dú)的正弦和余弦載波，每個(gè)載波的幅度由a(t)調(diào)制，相位由相位調(diào)制函數(shù)θ(t)的正弦和余弦分別調(diào)制。
然后，我們可以重新定義每個(gè)載波函數(shù)的幅度和相位調(diào)制，稱為x_i(t)和x_q(t)。這些調(diào)制函數(shù)通常簡(jiǎn)稱為I和Q。i是同相調(diào)制函數(shù)，q是正交相位調(diào)制函數(shù)?！罢弧币辉~來(lái)源于正弦和余弦之間相位相差90度。
現(xiàn)在我們有了x(t)的這種形式，它代表了我們現(xiàn)實(shí)世界中的傳輸信號(hào)。I和Q調(diào)制函數(shù)都是實(shí)值函數(shù)，意味著它們不包含虛部。因此，x(t)也是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，這是現(xiàn)實(shí)世界傳輸所要求的。然而，這個(gè)函數(shù)實(shí)際上既可以表示實(shí)數(shù)調(diào)制，也可以表示復(fù)數(shù)調(diào)制。
順便提一下，這個(gè)傳輸信號(hào)通常被稱為帶通信號(hào)，因?yàn)樗谳d波頻率上占據(jù)了一定的帶寬。換句話說(shuō)，I和Q函數(shù)調(diào)制了一個(gè)載波信號(hào)。
帶通信號(hào)可以分解為一個(gè)低通調(diào)制函數(shù)，乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)載波。這里的“低通”指的是信號(hào)以直流（DC）為中心，也稱為基帶。
現(xiàn)在，讓我們來(lái)了解一下基本相位調(diào)制和幅度調(diào)制背后的數(shù)學(xué)原理。這是一個(gè)很好的例子，因?yàn)樗粡V泛應(yīng)用，比如在正交幅度調(diào)制（QAM）中。同樣的基本分析可以用于之前幻燈片中給出的所有調(diào)制類型。它還可以幫助我們展示實(shí)調(diào)制和復(fù)調(diào)制。
這個(gè)新的基帶調(diào)制函數(shù)X_bb(t)是由I和Q這兩個(gè)實(shí)值調(diào)制函數(shù)形成的，其中Q代表復(fù)分量。很容易看出，如果Q(t)等于0，那么X_bb(t)就是一個(gè)實(shí)值函數(shù)。當(dāng)X_bb(t)是實(shí)值時(shí)，結(jié)果就是實(shí)調(diào)制。或者，如果Q(t)不為零，那么它就是一個(gè)復(fù)信號(hào)，導(dǎo)致復(fù)調(diào)制。
現(xiàn)在，我們可以將這個(gè)新的復(fù)基帶調(diào)制函數(shù)與實(shí)值帶通傳輸信號(hào)聯(lián)系起來(lái)，如圖所示。x(t)是通過(guò)將X_bb(t)乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)（其頻率等于載波頻率）并取這個(gè)乘積的實(shí)部得到的。我們把這種傳輸信號(hào)的形式稱為解析等價(jià)形式，因?yàn)樗闹饕康氖欠治稣{(diào)制。
利用歐拉公式和X_bb(t)的定義，很容易看出x(t)的這個(gè)定義與之前的定義是等價(jià)的。試著自己證明這種等價(jià)性?；旧?，X_bb(t)只是一個(gè)由I和Q調(diào)制函數(shù)控制的時(shí)變復(fù)數(shù)。記住，I和Q都是實(shí)值函數(shù)，只有當(dāng)Q函數(shù)不為零時(shí)，X_bb(t)才是復(fù)數(shù)。接下來(lái)，我們將展示復(fù)調(diào)制相對(duì)于實(shí)調(diào)制的優(yōu)勢(shì)。
以下是一個(gè)實(shí)調(diào)制的例子，它將一個(gè)余弦波轉(zhuǎn)換為更高頻率的信號(hào)。我們通常把這個(gè)過(guò)程稱為混頻，但也可以看作是用一個(gè)正弦波調(diào)制另一個(gè)正弦波。在這個(gè)例子中，基帶調(diào)制函數(shù)是一個(gè)對(duì)于所有時(shí)間值都是實(shí)值的余弦波。換句話說(shuō)，q分量為零。基帶余弦波的頻率是f_IF，其中IF代表中頻。
利用歐拉公式中的余弦關(guān)系，我們可以將余弦波描述為兩個(gè)復(fù)指數(shù)的和。將這個(gè)公式代入x(t)的解析定義中，合并指數(shù)冪，然后再次使用歐拉公式，我們可以看到，得到的調(diào)制信號(hào)是載波頻率加上和減去IF頻率的兩個(gè)實(shí)余弦波的和。然而，通常只需要這兩個(gè)信號(hào)中的一個(gè)，而不需要的信號(hào)（稱為鏡像信號(hào)）必須被濾除。解決這個(gè)問(wèn)題的一種方法是使用復(fù)調(diào)制。
現(xiàn)在考慮同樣的場(chǎng)景，但使用復(fù)調(diào)制。在這里，基帶調(diào)制函數(shù)是一個(gè)復(fù)指數(shù)，而不僅僅是實(shí)值的余弦波。再次利用歐拉公式，我們可以看到復(fù)指數(shù)只是余弦波和正弦波的和，其中正弦波乘以虛數(shù)單位j。因此，同相調(diào)制函數(shù)I是一個(gè)余弦波，而正交相位調(diào)制函數(shù)q是一個(gè)正弦波。
將這個(gè)復(fù)基帶函數(shù)代入x(t)的解析定義中，合并指數(shù)冪，并應(yīng)用歐拉公式，得到最終的調(diào)制信號(hào)。虛部的正弦分量被實(shí)部函數(shù)去除。這個(gè)新的調(diào)制信號(hào)只包含所需的信號(hào)，而鏡像信號(hào)被衰減或抑制。
在實(shí)混頻的情況下，首先要認(rèn)識(shí)到的是，實(shí)信號(hào)（如余弦波）具有鏡像的正負(fù)頻率譜。負(fù)頻率在真實(shí)世界中不存在，但在解析世界中存在。對(duì)于實(shí)調(diào)制信號(hào)也是如此，其形狀證明了這一點(diǎn)。注意，正負(fù)頻率譜看起來(lái)是相同的。
當(dāng)這個(gè)信號(hào)混頻到更高頻率時(shí)，正負(fù)頻率譜都會(huì)混頻到載波頻率附近。我們稱載波頻率的兩側(cè)為下邊帶和上邊帶。在這種情況下，下邊帶和上邊帶包含相同的信息，這不是很有效率。這種場(chǎng)景被稱為雙邊帶（DSB）傳輸，是實(shí)調(diào)制的結(jié)果。
如果我們現(xiàn)在看復(fù)混頻的情況，其中我們使用復(fù)指數(shù)作為基帶信號(hào)，我們可以看到復(fù)正弦波只存在于正頻率空間中，而負(fù)鏡像消失了。我也可以將復(fù)指數(shù)定義為負(fù)頻率，這意味著它存在于負(fù)頻率空間中，而不是正頻率空間。這表明我的正頻率空間與負(fù)頻率空間是獨(dú)立的。
我的復(fù)調(diào)制信號(hào)，如這個(gè)形狀所示，可以在兩個(gè)邊帶中包含不同的信息。一旦我與復(fù)正弦波混頻并取實(shí)部，載波信號(hào)的下邊帶和上邊帶現(xiàn)在就是獨(dú)立的。這被稱為單邊帶（SSB）傳輸，因?yàn)槊總€(gè)邊帶都可以傳輸獨(dú)特的信息。關(guān)鍵的好處是，這允許我在相同的帶寬內(nèi)傳輸比實(shí)傳輸多兩倍的信息。
既然我們已經(jīng)介紹了復(fù)調(diào)制背后的基本數(shù)學(xué)原理，現(xiàn)在讓我們來(lái)討論它的兩個(gè)主要用途。
首先，復(fù)調(diào)制的概念被用于鏡像抑制混頻器中。在實(shí)混頻中，會(huì)產(chǎn)生所需的信號(hào)和不需要的鏡像信號(hào)，后者必須被濾除。而使用復(fù)調(diào)制可以固有地抑制鏡像信號(hào)，正如我在復(fù)混頻示例中所展示的。
鏡像信號(hào)的抑制降低了混頻器之后模擬濾波器的要求。由于存在不完善之處，模擬混頻器無(wú)法實(shí)現(xiàn)完美的抑制。然而，即使鏡像信號(hào)功率降低20分貝，也會(huì)導(dǎo)致濾波器要求的顯著放寬。
其次，復(fù)調(diào)制在數(shù)字通信中得到了廣泛應(yīng)用，以便在給定信號(hào)帶寬下將數(shù)據(jù)傳輸速率加倍。這提高了頻譜效率，這在帶寬受限的情況下（如無(wú)線通信）尤為重要。數(shù)據(jù)傳輸速率能夠加倍是因?yàn)檎液陀嘞沂钦缓瘮?shù)，允許分離I和Q分量。由于I和Q可以分離，它們可以包含獨(dú)立的信息。讓我們更深入地了解這一應(yīng)用場(chǎng)景。
數(shù)字通信使用離散的I和Q值來(lái)形成符號(hào)。一種常見的可視化復(fù)符號(hào)的方法是使用星座圖，例如這個(gè)16-QAM（正交幅度調(diào)制）的示例圖。該圖將符號(hào)映射到復(fù)平面上。x軸表示實(shí)部I分量的大小，而y軸表示虛部Q分量的大小。每個(gè)符號(hào)都映射到一個(gè)比特序列，以便傳輸信息。
在示例圖中，比特序列1011映射到右下角的符號(hào)，該符號(hào)由最正的I值和最負(fù)的Q值表示。從原點(diǎn)到符號(hào)的距離表示調(diào)制載波的幅度，可以使用勾股定理來(lái)計(jì)算。調(diào)制載波的相位是從正I軸到符號(hào)的角度，可以使用q除以i的反正切值來(lái)計(jì)算。
現(xiàn)在，讓我們嘗試將星座圖中所顯示的內(nèi)容與之前給出的傳輸信號(hào)定義聯(lián)系起來(lái)。
首先，考慮之前展示的16-QAM星座圖。假設(shè)我們希望在載波頻率f_c上通過(guò)信道傳輸，并且想要發(fā)送比特0011。查看圖表，我們可以看到比特0011被分配到復(fù)平面右下象限左下角的符號(hào)。該符號(hào)對(duì)應(yīng)的I和Q值分別為1和-3。因此，我們的基帶調(diào)制函數(shù)簡(jiǎn)單地表示為1-j3。
現(xiàn)在，我們可以使用之前幻燈片中的方程來(lái)計(jì)算載波幅度和相位。我們發(fā)現(xiàn)幅度為根號(hào)10，相位為-1.25弧度。
現(xiàn)在，我們可以通過(guò)兩種方式生成調(diào)制信號(hào)。我們可以使用計(jì)算出的幅度和相位來(lái)設(shè)置余弦波的幅度和相位，如上方方程所示?；蛘撸覀兛梢灾苯邮褂眯亲鶊D中的I和Q值來(lái)設(shè)置獨(dú)立余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)的相對(duì)幅度，如下方方程所示。所得信號(hào)是相同的。然而，第二種方法通常更常用，因?yàn)樗跀?shù)字處理器或現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列（FPGA）中更容易實(shí)現(xiàn)。
以下是各種調(diào)制方案的星座圖。第一個(gè)是正交相移鍵控（QPSK），它有四個(gè)符號(hào)，分別位于復(fù)平面的每個(gè)象限中。第二個(gè)是八進(jìn)制相移鍵控（8PSK），它有八個(gè)符號(hào)，每個(gè)符號(hào)之間相隔45度。
第三個(gè)是32-QAM（正交幅度調(diào)制），由于32的平方根不是整數(shù)，因此它不是一個(gè)完美的正方形。相反，正方形的四個(gè)角被去掉，這略微提高了功率效率，并允許每個(gè)符號(hào)映射五個(gè)比特。最后一個(gè)是1024-QAM，它是一個(gè)緊密排列的星座圖，每個(gè)符號(hào)映射10個(gè)比特，從而顯著提高了數(shù)據(jù)傳輸速率。
由于符號(hào)排列緊密，為了達(dá)到相同的比特誤碼率，更密集的星座圖需要更好的噪聲和失真性能。然而，符號(hào)間間距較大的星座圖每個(gè)符號(hào)發(fā)送的比特?cái)?shù)較少，因此數(shù)據(jù)傳輸速率較低。許多系統(tǒng)允許根據(jù)信道條件的改善或惡化實(shí)時(shí)更改星座圖，以便在達(dá)到所需比特誤碼率的同時(shí)實(shí)現(xiàn)最大數(shù)據(jù)傳輸速率。
