談談歐拉公式與復指數(shù)信號

在之前的發(fā)文中，歐拉公式推導過程中有一處筆誤，將sin(x)和cos(x)的泰勒展開式顛倒，本次更新特別進行更正。在此，特別鳴謝"不逃避，不回頭，不后退！"這位粉絲朋友。

正文：

在無線通信中信息的傳遞是通過電磁波的形式傳遞出去的。電磁波可以用一系列不同頻率的正弦函數(shù)來表示，我們可以利用正弦信號的幅度、頻率、相位這三個特性進行信號的調制。在進行信號處理時，如果使用正弦信號進行分析，就需要進行復雜的三角函數(shù)運算，計算會相當?shù)姆爆崱?/p>

不過，一個大牛早就幫我們找到了一個新的方向。他就是瑞士的數(shù)學家和物理學家——萊昂哈德.歐拉，他提出了一個可以說是世界上最完美的公式——歐拉公式，在這個公式中將三角函數(shù)和復指數(shù)完美的關聯(lián)到一起。于是，我們就可以使用復指數(shù)信號進行信號分析，對于復指數(shù)來說，其運算比較簡潔，我們通常會使用復指數(shù)來替代正弦信號進行運算。

廢話不多說，直接上公式！

e是自然數(shù)；

i是虛數(shù)，在通信里我們常用j表示；

cos是余弦函數(shù)；

sin是正弦函數(shù)；

x是以弧度單位的變量；

歐拉公式的推導

對于公式推導是最讓人頭疼的，但是不要怕，大家暫時只要做個了解就好，因為在實際應用中也不會讓來我們推導這個公式，我們只要記住這個公式即可。下面我們看看歐拉公式的推導過程。

在歐拉公式推導需要用到泰勒級數(shù)，先讓我們看一下泰勒級數(shù)。

公式中的變量z可以用ix帶入，得到表達式（1）：

因為sinx和cosx的泰勒展開式，如下表達式（2）和（3）：

所以，最后將表達式（2）和表達式（3）帶入到表達式（1），即可得到歐拉公式。

幾何意義

因為歐拉公式右邊cosθ + i sinθ是一個復數(shù)，我們可以將它在復數(shù)坐標系上表示，因此，e^(iθ)就是單位圓上的點，實部是cosθ，虛部是sinθ，對應的是從原點到A，輻角為θ，長度為1的單位向量。

關于虛數(shù)i我們該怎么理解呢？

我們先來看看復數(shù)和復指數(shù)相乘會是什么情況？例如，復數(shù)z=r(cos(φ) + isin(φ))。

根據(jù)歐拉公式，可知：

復數(shù)z和復指數(shù)e^(iθ)相乘：

我們看到當復指數(shù)乘以復數(shù)，相當于這個復數(shù)對應的向量旋轉θ，θ大于0逆時針旋轉，小于0則順時針旋轉。

現(xiàn)在我們來看看復數(shù)i，我們將它換一種形式表示。當θ=π/2時，i=cos(π/2) + i sin(π/2)，再根據(jù)歐拉公式得：

所以復數(shù)與i相乘，就相當于復數(shù)對應的向量逆時針旋轉90度。

復指數(shù)信號

對于復指數(shù)信號，我們可以再引入一個時間變量t，θ隨著時間t以角速度ω變化，即θ=ωt+φ。因此，復指數(shù)信號可以表示為：

根據(jù)ω = 2πf，也可表示為：

A；幅度；

ω：角速度；

f：頻率；

φ：初相；

復指數(shù)信號是什么樣的呢？下面的圖形就是復指數(shù)信號的運動軌跡，它的運動軌跡是螺旋前進的三維圖形，從圖中可以看出，復指數(shù)信號在復平面上的投影是個圓，在實軸和虛軸上的投影分別是余弦和正弦函數(shù)。

其實，復指數(shù)信號并不簡單，但是其運算的簡潔性，恰恰為復雜的信號處理運算提供了簡潔的數(shù)學工具。